פתור את {l}{x-y=10}{2x+2,5y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + 2,5 y = 200 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=50$$

$$y=40$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=10$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+10$$

השתמש ב- ‎y+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+2.5y=200.

$$2\left(y+10\right)+2.5y=200$$

הכפל את ‎2 ב- ‎y+10.

$$2y+20+2.5y=200$$

הוסף את ‎2y ל- ‎\frac{5y}{2}.

$$4.5y+20=200$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$4.5y=180$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=40$$

השתמש ב- ‎40 במקום y ב- ‎x=y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=40+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎40.

$$x=50$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=50,y=40$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{2.5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2.5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2.5-\left(-2\right)}&\frac{1}{2.5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{4}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\\-\frac{4}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=50,y=40$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2.5y=200$$

פשט.

$$2x-2y=20,2x+2.5y=200$$

החסר את ‎2x+2.5y=200 מ- ‎2x-2y=20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-2y-2.5y=20-200$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-2.5y=20-200$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-\frac{5y}{2}.

$$-4.5y=20-200$$

הוסף את ‎20 ל- ‎-200.

$$-4.5y=-180$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-4.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=40$$

השתמש ב- ‎40 במקום y ב- ‎2x+2.5y=200. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+2.5\times 40=200$$

הכפל את ‎2.5 ב- ‎40.

$$2x+100=200$$

החסר ‎100 משני אגפי המשוואה.

$$2x=100$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=50$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=50,y=40$$