פתור את {l}{x-y=1}{2x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 1 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=1,2x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=1$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+1$$

השתמש ב- ‎y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=2.

$$2\left(y+1\right)+y=2$$

הכפל את ‎2 ב- ‎y+1.

$$2y+2+y=2$$

הוסף את ‎2y ל- ‎y.

$$3y+2=2$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$3y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=1,2x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=1,2x+y=2$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2,2x+y=2$$

פשט.

$$2x-2y=2,2x+y=2$$

החסר את ‎2x+y=2 מ- ‎2x-2y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-2y-y=2-2$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-y=2-2$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-y.

$$-3y=2-2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-2.

$$-3y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎2x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=0$$