פתור את {l}{x-y=-5}{3x+2y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 5 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=-5$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y-5$$

השתמש ב- ‎y-5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=10.

$$3\left(y-5\right)+2y=10$$

הכפל את ‎3 ב- ‎y-5.

$$3y-15+2y=10$$

הוסף את ‎3y ל- ‎2y.

$$5y-15=10$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$5y=25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=y-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5-5$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎5.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-5\right),3x+2y=10$$

פשט.

$$3x-3y=-15,3x+2y=10$$

החסר את ‎3x+2y=10 מ- ‎3x-3y=-15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-3y-2y=-15-10$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-2y=-15-10$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-2y.

$$-5y=-15-10$$

הוסף את ‎-15 ל- ‎-10.

$$-5y=-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎3x+2y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times 5=10$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$3x+10=10$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=5$$