פתור את {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y^{2} משני האגפים.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

הוסף ‎6 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

פתור את ‎x-y=\frac{1}{4} עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

החסר ‎-y משני אגפי המשוואה.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎y+\frac{1}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-y^{2}+3x^{2}=6.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

‎y+\frac{1}{4} בריבוע.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

הכפל את ‎3 ב- ‎y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

הוסף את ‎-y^{2} ל- ‎3y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1+3\times 1^{2} במקום a, ב- 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 במקום b, וב- -\frac{93}{16} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

‎3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 בריבוע.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-\frac{93}{16}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎\frac{9}{4} ל- ‎\frac{93}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של \frac{195}{4}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-\frac{3}{2} ל- ‎\frac{\sqrt{195}}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

חלק את ‎\frac{-3+\sqrt{195}}{2} ב- ‎4.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{\sqrt{195}}{2} מ- ‎-\frac{3}{2}.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

חלק את ‎\frac{-3-\sqrt{195}}{2} ב- ‎4.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{-3+\sqrt{195}}{8} ו- ‎\frac{-3-\sqrt{195}}{8}. השתמש ב- ‎\frac{-3+\sqrt{195}}{8} במקום ‎y במשוואה ‎x=y+\frac{1}{4} כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

כעת השתמש ב- ‎\frac{-3-\sqrt{195}}{8} במקום ‎y במשוואה x=y+\frac{1}{4} ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$