פתור את {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-7y=6$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$x=7y+6$$

השתמש ב- ‎7y+6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+3y=2.

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

הכפל את ‎5 ב- ‎7y+6.

$$35y+30+3y=2$$

הוסף את ‎35y ל- ‎3y.

$$38y+30=2$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$38y=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{14}{19} במקום y ב- ‎x=7y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{14}{19}.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-\frac{98}{19}.

$$x=\frac{16}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

פשט.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

החסר את ‎5x+3y=2 מ- ‎5x-35y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-35y-3y=30-2$$

הוסף את ‎-35y ל- ‎-3y.

$$-38y=30-2$$

הוסף את ‎30 ל- ‎-2.

$$-38y=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{14}{19} במקום y ב- ‎5x+3y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{14}{19}.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

הוסף ‎\frac{42}{19} לשני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{80}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{16}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$