פתור את {l}{x-3y=4}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = 4 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-3y=4$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$x=3y+4$$

השתמש ב- ‎3y+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+3y=-1.

$$5\left(3y+4\right)+3y=-1$$

הכפל את ‎5 ב- ‎3y+4.

$$15y+20+3y=-1$$

הוסף את ‎15y ל- ‎3y.

$$18y+20=-1$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$18y=-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$y=-\frac{7}{6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{6} במקום y ב- ‎x=3y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\left(-\frac{7}{6}\right)+4$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{7}{6}.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-\frac{7}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{5}{18}\times 4+\frac{1}{18}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$5x+5\left(-3\right)y=5\times 4,5x+3y=-1$$

פשט.

$$5x-15y=20,5x+3y=-1$$

החסר את ‎5x+3y=-1 מ- ‎5x-15y=20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x-15y-3y=20+1$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-3y=20+1$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-3y.

$$-18y=20+1$$

הוסף את ‎20 ל- ‎1.

$$-18y=21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-18.

$$y=-\frac{7}{6}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{6} במקום y ב- ‎5x+3y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+3\left(-\frac{7}{6}\right)=-1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{7}{6}.

$$5x-\frac{7}{2}=-1$$

הוסף ‎\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{5}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$