פתור את {l}{x-2y=4}{3x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-2y=4,3x+2y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-2y=4$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$x=2y+4$$

השתמש ב- ‎4+2y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=8.

$$3\left(2y+4\right)+2y=8$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4+2y.

$$6y+12+2y=8$$

הוסף את ‎6y ל- ‎2y.

$$8y+12=8$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$8y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=2y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\left(-\frac{1}{2}\right)+4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$x=-1+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-1.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-2y=4,3x+2y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 8\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-2y=4,3x+2y=8$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\times 4,3x+2y=8$$

פשט.

$$3x-6y=12,3x+2y=8$$

החסר את ‎3x+2y=8 מ- ‎3x-6y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-6y-2y=12-8$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-2y=12-8$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-2y.

$$-8y=12-8$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-8.

$$-8y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום y ב- ‎3x+2y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$3x-1=8$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-\frac{1}{2}$$