פתור את {l}{x-2y=-1}{2x-y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 1 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-2y=-1,2x-y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-2y=-1$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$x=2y-1$$

השתמש ב- ‎2y-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=5.

$$2\left(2y-1\right)-y=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2y-1.

$$4y-2-y=5$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-y.

$$3y-2=5$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{3} במקום y ב- ‎x=2y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\times \frac{7}{3}-1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{7}{3}.

$$x=\frac{14}{3}-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{14}{3}.

$$x=\frac{11}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{3},y=\frac{7}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-2y=-1,2x-y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{2}{3}\times 5\\-\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{11}{3},y=\frac{7}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-2y=-1,2x-y=5$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-1\right),2x-y=5$$

פשט.

$$2x-4y=-2,2x-y=5$$

החסר את ‎2x-y=5 מ- ‎2x-4y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-4y+y=-2-5$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y+y=-2-5$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎y.

$$-3y=-2-5$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-5.

$$-3y=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{3} במקום y ב- ‎2x-y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-\frac{7}{3}=5$$

הוסף ‎\frac{7}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{22}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{11}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{3},y=\frac{7}{3}$$