פתור את {l}{x-2(3y-1)=-4}{2/3y-(-x-7)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 ( 3 y - 1 ) = - 4 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y - ( - x - 7 ) = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-6$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3y-1.

$$x-6y+2=-4$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$x-6y=-6$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$x=6y-6$$

השתמש ב- ‎-6+6y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1.

$$-\left(-\left(6y-6\right)-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-6+6y.

$$-\left(-6y+6-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-7.

$$-\left(-6y-1\right)+\frac{2}{3}y=1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-6y-1.

$$6y+1+\frac{2}{3}y=1$$

הוסף את ‎6y ל- ‎\frac{2y}{3}.

$$\frac{20}{3}y+1=1$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{20}{3}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{20}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=6y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-6,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

פשט את המשוואה הראשונה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3y-1.

$$x-6y+2=-4$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$x-6y=-6$$

פשט את המשוואה השניה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-x-7.

$$x+7+\frac{2}{3}y=1$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$x+\frac{2}{3}y=-6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{9}{10}\\-\frac{3}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{9}{10}\left(-6\right)\\-\frac{3}{20}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-6,y=0$$