פתור את {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎y+3, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

כנס את ‎2x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎-4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$-4x-y-3-2y=2$$

כנס את ‎-y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎-3y.

$$-4x-3y-3=2$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$-4x-3y=2+3$$

חבר את ‎2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎5.

$$-4x-3y=5$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$5x+y=4x-2$$

החסר ‎4x משני האגפים.

$$5x+y-4x=-2$$

כנס את ‎5x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎x.

$$x+y=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x-3y=5$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$-4x=3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y-5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=-2.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎y.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

הוסף ‎\frac{5}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎-3.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{4} ל- ‎\frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎y+3, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

כנס את ‎2x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎-4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$-4x-y-3-2y=2$$

כנס את ‎-y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎-3y.

$$-4x-3y-3=2$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$-4x-3y=2+3$$

חבר את ‎2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎5.

$$-4x-3y=5$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$5x+y=4x-2$$

החסר ‎4x משני האגפים.

$$5x+y-4x=-2$$

כנס את ‎5x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎x.

$$x+y=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎y+3, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

כנס את ‎2x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎-4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$-4x-y-3-2y=2$$

כנס את ‎-y ו- ‎-2y כדי לקבל ‎-3y.

$$-4x-3y-3=2$$

הוסף ‎3 משני הצדדים.

$$-4x-3y=2+3$$

חבר את ‎2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎5.

$$-4x-3y=5$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$5x+y=4x-2$$

החסר ‎4x משני האגפים.

$$5x+y-4x=-2$$

כנס את ‎5x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎x.

$$x+y=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

פשט.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

החסר את ‎-4x-4y=8 מ- ‎-4x-3y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎4x. האיברים ‎-4x ו- ‎4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y+4y=5-8$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎4y.

$$y=5-8$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-8.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x+y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-3=-2$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-3$$