פתור את {l}{xsqrt{2}-ysqrt{5}=2sqrt{10}}{xsqrt{5}+ysqrt{2}=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x \sqrt { 2 } - y \sqrt { 5 } = 2 \sqrt { 10 } } \\ { x \sqrt { 5 } + y \sqrt { 2 } = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\sqrt{5}\approx 2.236067977$$

$$y=-\sqrt{2}\approx -1.414213562$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. סדר מחדש את האיברים.

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10}$$

הוסף ‎\sqrt{5}y לשני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{2}x=\sqrt{5}y+2\sqrt{10}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\sqrt{2}.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{5}y+2\sqrt{10}\right)$$

הכפל את ‎\frac{\sqrt{2}}{2} ב- ‎\sqrt{5}y+2\sqrt{10}.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3.

$$\sqrt{5}\left(\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}y=3$$

הכפל את ‎\sqrt{5} ב- ‎\frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5}.

$$\frac{5\sqrt{2}}{2}y+10+\sqrt{2}y=3$$

הוסף את ‎\frac{5\sqrt{2}y}{2} ל- ‎\sqrt{2}y.

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y+10=3$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\frac{7\sqrt{2}}{2}.

$$y=-\sqrt{2}$$

השתמש ב- ‎-\sqrt{2} במקום y ב- ‎x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}\left(-\sqrt{2}\right)+2\sqrt{5}$$

הכפל את ‎\frac{\sqrt{10}}{2} ב- ‎-\sqrt{2}.

$$x=-\sqrt{5}+2\sqrt{5}$$

הוסף את ‎2\sqrt{5} ל- ‎-\sqrt{5}.

$$x=\sqrt{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. סדר מחדש את האיברים.

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

כדי להפוך את ‎\sqrt{2}x ו- ‎\sqrt{5}x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\sqrt{5} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\sqrt{2}.

$$\sqrt{5}\sqrt{2}x+\sqrt{5}\left(-\sqrt{5}\right)y=\sqrt{5}\times 2\sqrt{10},\sqrt{2}\sqrt{5}x+\sqrt{2}\sqrt{2}y=\sqrt{2}\times 3$$

פשט.

$$\sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2},\sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2}$$

החסר את ‎\sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2} מ- ‎\sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\sqrt{10}x+\left(-\sqrt{10}\right)x-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

הוסף את ‎\sqrt{10}x ל- ‎-\sqrt{10}x. האיברים ‎\sqrt{10}x ו- ‎-\sqrt{10}x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎-2y.

$$-7y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

הוסף את ‎10\sqrt{2} ל- ‎-3\sqrt{2}.

$$-7y=7\sqrt{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=-\sqrt{2}$$

השתמש ב- ‎-\sqrt{2} במקום y ב- ‎\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\sqrt{5}x+\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)=3$$

הכפל את ‎\sqrt{2} ב- ‎-\sqrt{2}.

$$\sqrt{5}x-2=3$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{5}x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\sqrt{5}.

$$x=\sqrt{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$