פתור את {l}{xsqrt{2}+ysqrt{3}=5}{xsqrt{3}-ysqrt{2}=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x \sqrt { 2 } + y \sqrt { 3 } = 5 } \\ { x \sqrt { 3 } - y \sqrt { 2 } = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\sqrt{2}\approx 1.414213562$$

$$y=\sqrt{3}\approx 1.732050808$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. סדר מחדש את האיברים.

$$\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=5,\sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=5$$

החסר ‎\sqrt{3}y משני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{2}x=\left(-\sqrt{3}\right)y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\sqrt{2}.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\left(-\sqrt{3}\right)y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{\sqrt{2}}{2} ב- ‎-\sqrt{3}y+5.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-\sqrt{6}y+5\sqrt{2}}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)y=0.

$$\sqrt{3}\left(\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)+\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

הכפל את ‎\sqrt{3} ב- ‎\frac{-\sqrt{6}y+5\sqrt{2}}{2}.

$$\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{6}}{2}+\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

הוסף את ‎-\frac{3\sqrt{2}y}{2} ל- ‎-\sqrt{2}y.

$$\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{6}}{2}=0$$

החסר ‎\frac{5\sqrt{6}}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)y=-\frac{5\sqrt{6}}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-\frac{5\sqrt{2}}{2}.

$$y=\sqrt{3}$$

השתמש ב- ‎\sqrt{3} במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{2}}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\sqrt{3}+\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{\sqrt{6}}{2} ב- ‎\sqrt{3}.

$$x=\frac{-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5\sqrt{2}}{2} ל- ‎-\frac{3\sqrt{2}}{2}.

$$x=\sqrt{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\sqrt{2},y=\sqrt{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. סדר מחדש את האיברים.

$$\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=5,\sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

כדי להפוך את ‎\sqrt{2}x ו- ‎\sqrt{3}x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\sqrt{3} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\sqrt{2}.

$$\sqrt{3}\sqrt{2}x+\sqrt{3}\sqrt{3}y=\sqrt{3}\times 5,\sqrt{2}\sqrt{3}x+\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

פשט.

$$\sqrt{6}x+3y=5\sqrt{3},\sqrt{6}x-2y=0$$

החסר את ‎\sqrt{6}x-2y=0 מ- ‎\sqrt{6}x+3y=5\sqrt{3} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\sqrt{6}x+\left(-\sqrt{6}\right)x+3y+2y=5\sqrt{3}$$

הוסף את ‎\sqrt{6}x ל- ‎-\sqrt{6}x. האיברים ‎\sqrt{6}x ו- ‎-\sqrt{6}x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+2y=5\sqrt{3}$$

הוסף את ‎3y ל- ‎2y.

$$5y=5\sqrt{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\sqrt{3}$$

השתמש ב- ‎\sqrt{3} במקום y ב- ‎\sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)\sqrt{3}=0$$

הכפל את ‎-\sqrt{2} ב- ‎\sqrt{3}.

$$\sqrt{3}x-\sqrt{6}=0$$

הוסף ‎\sqrt{6} לשני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{3}x=\sqrt{6}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎\sqrt{3}.

$$x=\sqrt{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\sqrt{2},y=\sqrt{3}$$