פתור את {l}{x^2+y^2=9}{x+y=a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

פתור את ‎x+y=a עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=a$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+a$$

השתמש ב- ‎-y+a במקום ‎x במשוואה השניה, ‎y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

‎-y+a בריבוע.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

הוסף את ‎y^{2} ל- ‎y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\left(-1\right)^{2} במקום a, ב- 1\left(-1\right)\times 2a במקום b, וב- -9+a^{2} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

‎1\left(-1\right)\times 2a בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎4a^{2} ל- ‎72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2a ל- ‎2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

חלק את ‎2a+2\sqrt{18-a^{2}} ב- ‎4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{18-a^{2}} מ- ‎2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

חלק את ‎2a-2\sqrt{18-a^{2}} ב- ‎4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} ו- ‎\frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. השתמש ב- ‎\frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} במקום ‎y במשוואה ‎x=-y+a כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

כעת השתמש ב- ‎\frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} במקום ‎y במשוואה x=-y+a ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

פתור את ‎x+y=a עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=a$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+a$$

השתמש ב- ‎-y+a במקום ‎x במשוואה השניה, ‎y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

‎-y+a בריבוע.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

הוסף את ‎y^{2} ל- ‎y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\left(-1\right)^{2} במקום a, ב- 1\left(-1\right)\times 2a במקום b, וב- -9+a^{2} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

‎1\left(-1\right)\times 2a בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎4a^{2} ל- ‎72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2a ל- ‎2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

חלק את ‎2a+2\sqrt{18-a^{2}} ב- ‎4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{18-a^{2}} מ- ‎2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

חלק את ‎2a-2\sqrt{18-a^{2}} ב- ‎4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} ו- ‎\frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. השתמש ב- ‎\frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} במקום ‎y במשוואה ‎x=-y+a כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

כעת השתמש ב- ‎\frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} במקום ‎y במשוואה x=-y+a ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$