פתור את {l}{x^2+y^2=3}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 3 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618033989\text{, }y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989\text{, }y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618033989$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=3$$

פתור את ‎x+y=1 עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+1$$

השתמש ב- ‎-y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎y^{2}+x^{2}=3.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=3$$

‎-y+1 בריבוע.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=3$$

הוסף את ‎y^{2} ל- ‎y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=3$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$2y^{2}-2y-2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\left(-1\right)^{2} במקום a, ב- 1\times 1\left(-1\right)\times 2 במקום b, וב- -2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

‎1\times 1\left(-1\right)\times 2 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-2.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎16.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 20.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎1\times 1\left(-1\right)\times 2 הוא ‎2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{5}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{2±2\sqrt{5}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎2\sqrt{5}.

$$y=\frac{2\sqrt{5}+2}{4}$$

חלק את ‎2+2\sqrt{5} ב- ‎4.

$$y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{2±2\sqrt{5}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{5} מ- ‎2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{5}}{4}$$

חלק את ‎2-2\sqrt{5} ב- ‎4.

$$y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{1+\sqrt{5}}{2} ו- ‎\frac{1-\sqrt{5}}{2}. השתמש ב- ‎\frac{1+\sqrt{5}}{2} במקום ‎y במשוואה ‎x=-y+1 כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1$$

כעת השתמש ב- ‎\frac{1-\sqrt{5}}{2} במקום ‎y במשוואה x=-y+1 ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$