פתור את {l}{x^2+y^2=16}{x+y=sqrt{26}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 16 } \\ { x + y = \sqrt { 26 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}\approx 3.774254628\text{, }y=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}\approx 1.324764885$$

$$x=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}\approx 1.324764885\text{, }y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}\approx 3.774254628$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=\sqrt{26},y^{2}+x^{2}=16$$

פתור את ‎x+y=\sqrt{26} עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=\sqrt{26}$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+\sqrt{26}$$

השתמש ב- ‎-y+\sqrt{26} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎y^{2}+x^{2}=16.

$$y^{2}+\left(-y+\sqrt{26}\right)^{2}=16$$

‎-y+\sqrt{26} בריבוע.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2\sqrt{26}\right)y+\left(\sqrt{26}\right)^{2}=16$$

הוסף את ‎y^{2} ל- ‎y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2\sqrt{26}\right)y+\left(\sqrt{26}\right)^{2}=16$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$2y^{2}+\left(-2\sqrt{26}\right)y+\left(\sqrt{26}\right)^{2}-16=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\left(-1\right)^{2} במקום a, ב- 1\left(-1\right)\times 2\sqrt{26} במקום b, וב- 10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{26}\right)^{2}-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

‎1\left(-1\right)\times 2\sqrt{26} בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{104-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{104-8\times 10}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎10.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{104-80}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎104 ל- ‎-80.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{24}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 24.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±2\sqrt{6}}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎1\left(-1\right)\times 2\sqrt{26} הוא ‎2\sqrt{26}.

$$y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2\sqrt{26} ל- ‎2\sqrt{6}.

$$y=\frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{26}}{4}$$

חלק את ‎2\sqrt{26}+2\sqrt{6} ב- ‎4.

$$y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{6} מ- ‎2\sqrt{26}.

$$y=\frac{2\sqrt{26}-2\sqrt{6}}{4}$$

חלק את ‎2\sqrt{26}-2\sqrt{6} ב- ‎4.

$$y=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{\sqrt{26}+\sqrt{6}}{2} ו- ‎\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}. השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{26}+\sqrt{6}}{2} במקום ‎y במשוואה ‎x=-y+\sqrt{26} כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}+\sqrt{26}$$

כעת השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2} במקום ‎y במשוואה x=-y+\sqrt{26} ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}+\sqrt{26}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}+\sqrt{26},y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}\text{ or }x=-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}+\sqrt{26},y=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}$$