פתור את {l}{x=3y}{2(x+y)+2x=280}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y } \\ { 2 ( x + y ) + 2 x = 280 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=60$$

$$y=20$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y+2x=280$$

כנס את ‎2x ו- ‎2x כדי לקבל ‎4x.

$$4x+2y=280$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-3y=0,4x+2y=280$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-3y=0$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$x=3y$$

השתמש ב- ‎3y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+2y=280.

$$4\times 3y+2y=280$$

הכפל את ‎4 ב- ‎3y.

$$12y+2y=280$$

הוסף את ‎12y ל- ‎2y.

$$14y=280$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$y=20$$

השתמש ב- ‎20 במקום y ב- ‎x=3y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\times 20$$

הכפל את ‎3 ב- ‎20.

$$x=60$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=60,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y+2x=280$$

כנס את ‎2x ו- ‎2x כדי לקבל ‎4x.

$$4x+2y=280$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-3y=0,4x+2y=280$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\280\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\280\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\280\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\280\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\280\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\280\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 280\\\frac{1}{14}\times 280\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\20\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=60,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y+2x=280$$

כנס את ‎2x ו- ‎2x כדי לקבל ‎4x.

$$4x+2y=280$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-3y=0,4x+2y=280$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$4x+4\left(-3\right)y=0,4x+2y=280$$

פשט.

$$4x-12y=0,4x+2y=280$$

החסר את ‎4x+2y=280 מ- ‎4x-12y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x-12y-2y=-280$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-2y=-280$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-2y.

$$-14y=-280$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$y=20$$

השתמש ב- ‎20 במקום y ב- ‎4x+2y=280. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+2\times 20=280$$

הכפל את ‎2 ב- ‎20.

$$4x+40=280$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$4x=240$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=60$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=60,y=20$$