פתור את {l}{x=2-3y}{2x+y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 - 3 y } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$x+3y=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+3y=2,2x+y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+3y=2$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$x=-3y+2$$

השתמש ב- ‎-3y+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=9.

$$2\left(-3y+2\right)+y=9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3y+2.

$$-6y+4+y=9$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎y.

$$-5y+4=9$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=-3y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\left(-1\right)+2$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-1.

$$x=3+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎3.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$x+3y=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+3y=2,2x+y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 2}&-\frac{3}{1-3\times 2}\\-\frac{2}{1-3\times 2}&\frac{1}{1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 9\\\frac{2}{5}\times 2-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$x+3y=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+3y=2,2x+y=9$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\times 3y=2\times 2,2x+y=9$$

פשט.

$$2x+6y=4,2x+y=9$$

החסר את ‎2x+y=9 מ- ‎2x+6y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+6y-y=4-9$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-y=4-9$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-y.

$$5y=4-9$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-9.

$$5y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎2x+y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-1=9$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-1$$