פתור את {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=8$$

$$y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎\frac{1}{4}y משני הצדדים.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

החסר ‎\frac{y}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{4}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=0.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{y}{4}+5.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎2y.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-12$$

השתמש ב- ‎-12 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{4}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-12.

$$x=3+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎3.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎\frac{1}{4}y משני הצדדים.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=8,y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎\frac{1}{4}y משני הצדדים.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

פשט.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

החסר את ‎3x+2y=0 מ- ‎3x+\frac{3}{4}y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

הוסף את ‎\frac{3y}{4} ל- ‎-2y.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-12$$

השתמש ב- ‎-12 במקום y ב- ‎3x+2y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-12.

$$3x-24=0$$

הוסף ‎24 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=-12$$