פתור את {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{3}{4}y משני האגפים.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{8}{9}x משני האגפים.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

הוסף ‎\frac{3y}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3}{4}y$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

הכפל את ‎-\frac{8}{9} ב- ‎\frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-12$$

השתמש ב- ‎-12 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{4}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

הכפל את ‎\frac{3}{4} ב- ‎-12.

$$x=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{3}{4}y משני האגפים.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{8}{9}x משני האגפים.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-9,y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{3}{4}y משני האגפים.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{8}{9}x משני האגפים.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-\frac{8x}{9} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-\frac{8}{9} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

פשט.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

החסר את ‎-\frac{8}{9}x+y=-4 מ- ‎-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

הוסף את ‎-\frac{8x}{9} ל- ‎\frac{8x}{9}. האיברים ‎-\frac{8x}{9} ו- ‎\frac{8x}{9} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

הוסף את ‎\frac{2y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-12$$

השתמש ב- ‎-12 במקום y ב- ‎-\frac{8}{9}x+y=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{8}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=-12$$