פתור את {l}{x+y=9}{50x+300y=300}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { 50 x + 300 y = 300 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{48}{5} = 9\frac{3}{5} = 9.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=9,50x+300y=300$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=9$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+9$$

השתמש ב- ‎-y+9 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎50x+300y=300.

$$50\left(-y+9\right)+300y=300$$

הכפל את ‎50 ב- ‎-y+9.

$$-50y+450+300y=300$$

הוסף את ‎-50y ל- ‎300y.

$$250y+450=300$$

החסר ‎450 משני אגפי המשוואה.

$$250y=-150$$

חלק את שני האגפים ב- ‎250.

$$y=-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום y ב- ‎x=-y+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-\frac{3}{5}\right)+9$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{3}{5}.

$$x=\frac{3}{5}+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎\frac{3}{5}.

$$x=\frac{48}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{48}{5},y=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=9,50x+300y=300$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\50&300\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\300\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\300\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{300-50}&-\frac{1}{300-50}\\-\frac{50}{300-50}&\frac{1}{300-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\300\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-\frac{1}{250}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 9-\frac{1}{250}\times 300\\-\frac{1}{5}\times 9+\frac{1}{250}\times 300\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{48}{5},y=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=9,50x+300y=300$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎50x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎50 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$50x+50y=50\times 9,50x+300y=300$$

פשט.

$$50x+50y=450,50x+300y=300$$

החסר את ‎50x+300y=300 מ- ‎50x+50y=450 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$50x-50x+50y-300y=450-300$$

הוסף את ‎50x ל- ‎-50x. האיברים ‎50x ו- ‎-50x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$50y-300y=450-300$$

הוסף את ‎50y ל- ‎-300y.

$$-250y=450-300$$

הוסף את ‎450 ל- ‎-300.

$$-250y=150$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-250.

$$y=-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום y ב- ‎50x+300y=300. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$50x+300\left(-\frac{3}{5}\right)=300$$

הכפל את ‎300 ב- ‎-\frac{3}{5}.

$$50x-180=300$$

הוסף ‎180 לשני אגפי המשוואה.

$$50x=480$$

חלק את שני האגפים ב- ‎50.

$$x=\frac{48}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{48}{5},y=-\frac{3}{5}$$