פתור את {l}{x+y=70}{x-2y=100}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 70 } \\ { x - 2 y = 100 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=80$$

$$y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=70,x-2y=100$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=70$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+70$$

השתמש ב- ‎-y+70 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=100.

$$-y+70-2y=100$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-2y.

$$-3y+70=100$$

החסר ‎70 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-10$$

השתמש ב- ‎-10 במקום y ב- ‎x=-y+70. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-10\right)+70$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-10.

$$x=10+70$$

הוסף את ‎70 ל- ‎10.

$$x=80$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=80,y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=70,x-2y=100$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 70+\frac{1}{3}\times 100\\\frac{1}{3}\times 70-\frac{1}{3}\times 100\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\-10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=80,y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=70,x-2y=100$$

החסר את ‎x-2y=100 מ- ‎x+y=70 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+y+2y=70-100$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+2y=70-100$$

הוסף את ‎y ל- ‎2y.

$$3y=70-100$$

הוסף את ‎70 ל- ‎-100.

$$3y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-10$$

השתמש ב- ‎-10 במקום y ב- ‎x-2y=100. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2\left(-10\right)=100$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-10.

$$x+20=100$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$x=80$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=80,y=-10$$