פתור את {l}{x+y=500}{3x+2y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 3 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-980$$

$$y=1480$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=500,3x+2y=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=500$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+500$$

השתמש ב- ‎-y+500 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=20.

$$3\left(-y+500\right)+2y=20$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-y+500.

$$-3y+1500+2y=20$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎2y.

$$-y+1500=20$$

החסר ‎1500 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-1480$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=1480$$

השתמש ב- ‎1480 במקום y ב- ‎x=-y+500. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-1480+500$$

הוסף את ‎500 ל- ‎-1480.

$$x=-980$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-980,y=1480$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=500,3x+2y=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{1}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 500+20\\3\times 500-20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-980\\1480\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-980,y=1480$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=500,3x+2y=20$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3y=3\times 500,3x+2y=20$$

פשט.

$$3x+3y=1500,3x+2y=20$$

החסר את ‎3x+2y=20 מ- ‎3x+3y=1500 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+3y-2y=1500-20$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-2y=1500-20$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-2y.

$$y=1500-20$$

הוסף את ‎1500 ל- ‎-20.

$$y=1480$$

השתמש ב- ‎1480 במקום y ב- ‎3x+2y=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times 1480=20$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1480.

$$3x+2960=20$$

החסר ‎2960 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2940$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-980$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-980,y=1480$$