פתור את {l}{x+y=45}{2x-4y=27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 2 x - 4 y = 27 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{69}{2} = 34\frac{1}{2} = 34.5$$

$$y = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2} = 10.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=45,2x-4y=27$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=45$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+45$$

השתמש ב- ‎-y+45 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-4y=27.

$$2\left(-y+45\right)-4y=27$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-y+45.

$$-2y+90-4y=27$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-4y.

$$-6y+90=27$$

החסר ‎90 משני אגפי המשוואה.

$$-6y=-63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=\frac{21}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{21}{2} במקום y ב- ‎x=-y+45. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{21}{2}+45$$

הוסף את ‎45 ל- ‎-\frac{21}{2}.

$$x=\frac{69}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{69}{2},y=\frac{21}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=45,2x-4y=27$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\27\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\27\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{1}{-4-2}\\-\frac{2}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\27\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 45+\frac{1}{6}\times 27\\\frac{1}{3}\times 45-\frac{1}{6}\times 27\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{69}{2}\\\frac{21}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{69}{2},y=\frac{21}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=45,2x-4y=27$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2y=2\times 45,2x-4y=27$$

פשט.

$$2x+2y=90,2x-4y=27$$

החסר את ‎2x-4y=27 מ- ‎2x+2y=90 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+2y+4y=90-27$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+4y=90-27$$

הוסף את ‎2y ל- ‎4y.

$$6y=90-27$$

הוסף את ‎90 ל- ‎-27.

$$6y=63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=\frac{21}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{21}{2} במקום y ב- ‎2x-4y=27. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-4\times \frac{21}{2}=27$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{21}{2}.

$$2x-42=27$$

הוסף ‎42 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=69$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{69}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{69}{2},y=\frac{21}{2}$$