פתור את {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=45$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+45$$

השתמש ב- ‎-y+45 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

הכפל את ‎18 ב- ‎-y+45.

$$-18y+810+120y=6000$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎120y.

$$102y+810=6000$$

החסר ‎810 משני אגפי המשוואה.

$$102y=5190$$

חלק את שני האגפים ב- ‎102.

$$y=\frac{865}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{865}{17} במקום y ב- ‎x=-y+45. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

הוסף את ‎45 ל- ‎-\frac{865}{17}.

$$x=-\frac{100}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎18x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎18 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

פשט.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

החסר את ‎18x+120y=6000 מ- ‎18x+18y=810 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y-120y=810-6000$$

הוסף את ‎18y ל- ‎-120y.

$$-102y=810-6000$$

הוסף את ‎810 ל- ‎-6000.

$$-102y=-5190$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-102.

$$y=\frac{865}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{865}{17} במקום y ב- ‎18x+120y=6000. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

הכפל את ‎120 ב- ‎\frac{865}{17}.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

החסר ‎\frac{103800}{17} משני אגפי המשוואה.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$x=-\frac{100}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$