פתור את {l}{x+y=40}{y+2=2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { y + 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=14$$

$$y=26$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y+2-2x=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$y-2x=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=40$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+40$$

השתמש ב- ‎-y+40 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+y=-2.

$$-2\left(-y+40\right)+y=-2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-y+40.

$$2y-80+y=-2$$

הוסף את ‎2y ל- ‎y.

$$3y-80=-2$$

הוסף ‎80 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=78$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=26$$

השתמש ב- ‎26 במקום y ב- ‎x=-y+40. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-26+40$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-26.

$$x=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=14,y=26$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y+2-2x=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$y-2x=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 40-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\times 40+\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\26\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=14,y=26$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y+2-2x=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$y-2x=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

החסר את ‎-2x+y=-2 מ- ‎x+y=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x+2x+y-y=40+2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x+2x=40+2$$

הוסף את ‎x ל- ‎2x.

$$3x=40+2$$

הוסף את ‎40 ל- ‎2.

$$3x=42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=14$$

השתמש ב- ‎14 במקום x ב- ‎-2x+y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-2\times 14+y=-2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎14.

$$-28+y=-2$$

הוסף ‎28 לשני אגפי המשוואה.

$$y=26$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=14,y=26$$