פתור את {l}{x+y=40}{x=1/7y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { x = \frac { 1 } { 7 } y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=35$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{7}y משני האגפים.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=40$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+40$$

השתמש ב- ‎-y+40 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-\frac{1}{7}y=0.

$$-y+40-\frac{1}{7}y=0$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-\frac{y}{7}.

$$-\frac{8}{7}y+40=0$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{8}{7}y=-40$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{8}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=35$$

השתמש ב- ‎35 במקום y ב- ‎x=-y+40. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-35+40$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-35.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=35$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{7}y משני האגפים.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{7}}{-\frac{1}{7}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\\frac{7}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 40\\\frac{7}{8}\times 40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=35$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{7}y משני האגפים.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

החסר את ‎x-\frac{1}{7}y=0 מ- ‎x+y=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+y+\frac{1}{7}y=40$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+\frac{1}{7}y=40$$

הוסף את ‎y ל- ‎\frac{y}{7}.

$$\frac{8}{7}y=40$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{8}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=35$$

השתמש ב- ‎35 במקום y ב- ‎x-\frac{1}{7}y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\frac{1}{7}\times 35=0$$

הכפל את ‎-\frac{1}{7} ב- ‎35.

$$x-5=0$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=35$$