פתור את {l}{x+y=30000}{0.66x-0.03y=90}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30000 } \\ { 0.66 x - 0.03 y = 90 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{33000}{23} = 1434\frac{18}{23} \approx 1434.782608696$$

$$y = \frac{657000}{23} = 28565\frac{5}{23} \approx 28565.217391304$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=30000$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+30000$$

השתמש ב- ‎-y+30000 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.66x-0.03y=90.

$$0.66\left(-y+30000\right)-0.03y=90$$

הכפל את ‎0.66 ב- ‎-y+30000.

$$-0.66y+19800-0.03y=90$$

הוסף את ‎-\frac{33y}{50} ל- ‎-\frac{3y}{100}.

$$-0.69y+19800=90$$

החסר ‎19800 משני אגפי המשוואה.

$$-0.69y=-19710$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.69, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{657000}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{657000}{23} במקום y ב- ‎x=-y+30000. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{657000}{23}+30000$$

הוסף את ‎30000 ל- ‎-\frac{657000}{23}.

$$x=\frac{33000}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{-0.03-0.66}&-\frac{1}{-0.03-0.66}\\-\frac{0.66}{-0.03-0.66}&\frac{1}{-0.03-0.66}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&\frac{100}{69}\\\frac{22}{23}&-\frac{100}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 30000+\frac{100}{69}\times 90\\\frac{22}{23}\times 30000-\frac{100}{69}\times 90\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33000}{23}\\\frac{657000}{23}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{33x}{50} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.66 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$0.66x+0.66y=0.66\times 30000,0.66x-0.03y=90$$

פשט.

$$0.66x+0.66y=19800,0.66x-0.03y=90$$

החסר את ‎0.66x-0.03y=90 מ- ‎0.66x+0.66y=19800 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.66x-0.66x+0.66y+0.03y=19800-90$$

הוסף את ‎\frac{33x}{50} ל- ‎-\frac{33x}{50}. האיברים ‎\frac{33x}{50} ו- ‎-\frac{33x}{50} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.66y+0.03y=19800-90$$

הוסף את ‎\frac{33y}{50} ל- ‎\frac{3y}{100}.

$$0.69y=19800-90$$

הוסף את ‎19800 ל- ‎-90.

$$0.69y=19710$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.69, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{657000}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{657000}{23} במקום y ב- ‎0.66x-0.03y=90. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$0.66x-0.03\times \frac{657000}{23}=90$$

הכפל את ‎-0.03 ב- ‎\frac{657000}{23} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.66x-\frac{19710}{23}=90$$

הוסף ‎\frac{19710}{23} לשני אגפי המשוואה.

$$0.66x=\frac{21780}{23}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.66, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{33000}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$