פתור את {l}{x+y=30}{20x+25y=640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 640 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=22$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=30$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+30$$

השתמש ב- ‎-y+30 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎20x+25y=640.

$$20\left(-y+30\right)+25y=640$$

הכפל את ‎20 ב- ‎-y+30.

$$-20y+600+25y=640$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎25y.

$$5y+600=640$$

החסר ‎600 משני אגפי המשוואה.

$$5y=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=-y+30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-8+30$$

הוסף את ‎30 ל- ‎-8.

$$x=22$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=22,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 640\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 640\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=22,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎20x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎20 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=640$$

פשט.

$$20x+20y=600,20x+25y=640$$

החסר את ‎20x+25y=640 מ- ‎20x+20y=600 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x+20y-25y=600-640$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-25y=600-640$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-25y.

$$-5y=600-640$$

הוסף את ‎600 ל- ‎-640.

$$-5y=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎20x+25y=640. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$20x+25\times 8=640$$

הכפל את ‎25 ב- ‎8.

$$20x+200=640$$

החסר ‎200 משני אגפי המשוואה.

$$20x=440$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$x=22$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=22,y=8$$