פתור את {l}{x+y=30}{2x+25y=698}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 2 x + 25 y = 698 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{52}{23} = 2\frac{6}{23} \approx 2.260869565$$

$$y = \frac{638}{23} = 27\frac{17}{23} \approx 27.739130435$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=30$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+30$$

השתמש ב- ‎-y+30 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+25y=698.

$$2\left(-y+30\right)+25y=698$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-y+30.

$$-2y+60+25y=698$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎25y.

$$23y+60=698$$

החסר ‎60 משני אגפי המשוואה.

$$23y=638$$

חלק את שני האגפים ב- ‎23.

$$y=\frac{638}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{638}{23} במקום y ב- ‎x=-y+30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{638}{23}+30$$

הוסף את ‎30 ל- ‎-\frac{638}{23}.

$$x=\frac{52}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-2}&-\frac{1}{25-2}\\-\frac{2}{25-2}&\frac{1}{25-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}\times 30-\frac{1}{23}\times 698\\-\frac{2}{23}\times 30+\frac{1}{23}\times 698\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{23}\\\frac{638}{23}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2y=2\times 30,2x+25y=698$$

פשט.

$$2x+2y=60,2x+25y=698$$

החסר את ‎2x+25y=698 מ- ‎2x+2y=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+2y-25y=60-698$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-25y=60-698$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-25y.

$$-23y=60-698$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-698.

$$-23y=-638$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-23.

$$y=\frac{638}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{638}{23} במקום y ב- ‎2x+25y=698. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+25\times \frac{638}{23}=698$$

הכפל את ‎25 ב- ‎\frac{638}{23}.

$$2x+\frac{15950}{23}=698$$

החסר ‎\frac{15950}{23} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{104}{23}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{52}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$