פתור את {l}{x+y=3}{ax+5y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 3 } \\ { a x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

$$y=-\frac{4-3a}{a-5}$$

$$a\neq 5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=3$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+3$$

השתמש ב- ‎-y+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎ax+5y=4.

$$a\left(-y+3\right)+5y=4$$

הכפל את ‎a ב- ‎-y+3.

$$\left(-a\right)y+3a+5y=4$$

הוסף את ‎-ay ל- ‎5y.

$$\left(5-a\right)y+3a=4$$

החסר ‎3a משני אגפי המשוואה.

$$\left(5-a\right)y=4-3a$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-a+5.

$$y=\frac{4-3a}{5-a}$$

השתמש ב- ‎\frac{4-3a}{-a+5} במקום y ב- ‎x=-y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4-3a}{5-a}+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-\frac{4-3a}{-a+5}.

$$x=\frac{11}{5-a}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{5-a},y=\frac{4-3a}{5-a}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}&-\frac{1}{5-a}\\-\frac{a}{5-a}&\frac{1}{5-a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}\times 3+\left(-\frac{1}{5-a}\right)\times 4\\\left(-\frac{a}{5-a}\right)\times 3+\frac{1}{5-a}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5-a}\\-\frac{3a-4}{5-a}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{11}{5-a},y=-\frac{3a-4}{5-a}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎ax לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎a ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$ax+ay=a\times 3,ax+5y=4$$

פשט.

$$ax+ay=3a,ax+5y=4$$

החסר את ‎ax+5y=4 מ- ‎ax+ay=3a על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$ax+\left(-a\right)x+ay-5y=3a-4$$

הוסף את ‎ax ל- ‎-ax. האיברים ‎ax ו- ‎-ax מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$ay-5y=3a-4$$

הוסף את ‎ay ל- ‎-5y.

$$\left(a-5\right)y=3a-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a-5.

$$y=\frac{3a-4}{a-5}$$

השתמש ב- ‎\frac{3a-4}{a-5} במקום y ב- ‎ax+5y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$ax+5\times \frac{3a-4}{a-5}=4$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{3a-4}{a-5}.

$$ax+\frac{5\left(3a-4\right)}{a-5}=4$$

החסר ‎\frac{5\left(3a-4\right)}{a-5} משני אגפי המשוואה.

$$ax=-\frac{11a}{a-5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a.

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{a-5},y=\frac{3a-4}{a-5}$$