פתור את {l}{x+y=27}{y=x-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { y = x - 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=18$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=27,-x+y=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=27$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+27$$

השתמש ב- ‎-y+27 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+y=-9.

$$-\left(-y+27\right)+y=-9$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-y+27.

$$y-27+y=-9$$

הוסף את ‎y ל- ‎y.

$$2y-27=-9$$

הוסף ‎27 לשני אגפי המשוואה.

$$2y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=-y+27. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-9+27$$

הוסף את ‎27 ל- ‎-9.

$$x=18$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=18,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=27,-x+y=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-\frac{1}{2}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 27+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=18,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=27,-x+y=-9$$

החסר את ‎-x+y=-9 מ- ‎x+y=27 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x+x+y-y=27+9$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x+x=27+9$$

הוסף את ‎x ל- ‎x.

$$2x=27+9$$

הוסף את ‎27 ל- ‎9.

$$2x=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=18$$

השתמש ב- ‎18 במקום x ב- ‎-x+y=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-18+y=-9$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$y=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=18,y=9$$