פתור את {l}{x+y=220}{3/5x=38y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 3 } { 5 } x = 38 y - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{41775}{193} = 216\frac{87}{193} \approx 216.450777202$$

$$y = \frac{685}{193} = 3\frac{106}{193} \approx 3.549222798$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎38y משני האגפים.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=220$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+220$$

השתמש ב- ‎-y+220 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{3}{5}x-38y=-5.

$$\frac{3}{5}\left(-y+220\right)-38y=-5$$

הכפל את ‎\frac{3}{5} ב- ‎-y+220.

$$-\frac{3}{5}y+132-38y=-5$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{5} ל- ‎-38y.

$$-\frac{193}{5}y+132=-5$$

החסר ‎132 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{193}{5}y=-137$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{193}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{685}{193}$$

השתמש ב- ‎\frac{685}{193} במקום y ב- ‎x=-y+220. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{685}{193}+220$$

הוסף את ‎220 ל- ‎-\frac{685}{193}.

$$x=\frac{41775}{193}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎38y משני האגפים.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{38}{-38-\frac{3}{5}}&-\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\\-\frac{\frac{3}{5}}{-38-\frac{3}{5}}&\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}&\frac{5}{193}\\\frac{3}{193}&-\frac{5}{193}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}\times 220+\frac{5}{193}\left(-5\right)\\\frac{3}{193}\times 220-\frac{5}{193}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41775}{193}\\\frac{685}{193}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎38y משני האגפים.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{3x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{3}{5} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{5}\times 220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

פשט.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

החסר את ‎\frac{3}{5}x-38y=-5 מ- ‎\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

הוסף את ‎\frac{3x}{5} ל- ‎-\frac{3x}{5}. האיברים ‎\frac{3x}{5} ו- ‎-\frac{3x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

הוסף את ‎\frac{3y}{5} ל- ‎38y.

$$\frac{193}{5}y=132+5$$

הוסף את ‎132 ל- ‎5.

$$\frac{193}{5}y=137$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{193}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{685}{193}$$

השתמש ב- ‎\frac{685}{193} במקום y ב- ‎\frac{3}{5}x-38y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{3}{5}x-38\times \frac{685}{193}=-5$$

הכפל את ‎-38 ב- ‎\frac{685}{193}.

$$\frac{3}{5}x-\frac{26030}{193}=-5$$

הוסף ‎\frac{26030}{193} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{5}x=\frac{25065}{193}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{41775}{193}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$