פתור את {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=100$$

$$y=120$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{3}{8}y משני האגפים.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=220$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+220$$

השתמש ב- ‎-y+220 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎-y+220.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{5} ל- ‎-\frac{3y}{8}.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

החסר ‎88 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{31}{40}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=120$$

השתמש ב- ‎120 במקום y ב- ‎x=-y+220. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-120+220$$

הוסף את ‎220 ל- ‎-120.

$$x=100$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=100,y=120$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{3}{8}y משני האגפים.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=100,y=120$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{3}{8}y משני האגפים.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{2x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{2}{5} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

פשט.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

החסר את ‎\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 מ- ‎\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

הוסף את ‎\frac{2x}{5} ל- ‎-\frac{2x}{5}. האיברים ‎\frac{2x}{5} ו- ‎-\frac{2x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

הוסף את ‎\frac{2y}{5} ל- ‎\frac{3y}{8}.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

הוסף את ‎88 ל- ‎5.

$$\frac{31}{40}y=93$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{31}{40}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=120$$

השתמש ב- ‎120 במקום y ב- ‎\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

הכפל את ‎-\frac{3}{8} ב- ‎120.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

הוסף ‎45 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{5}x=40$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=100$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=100,y=120$$