פתור את {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=96$$

$$y=108$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{3}{4}x משני האגפים.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=204$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+204$$

השתמש ב- ‎-y+204 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎-y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

הוסף את ‎\frac{3y}{4} ל- ‎\frac{2y}{3}.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

הוסף ‎153 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{17}{12}y=153$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{17}{12}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=108$$

השתמש ב- ‎108 במקום y ב- ‎x=-y+204. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-108+204$$

הוסף את ‎204 ל- ‎-108.

$$x=96$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=96,y=108$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{3}{4}x משני האגפים.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=96,y=108$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{3}{4}x משני האגפים.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-\frac{3x}{4} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-\frac{3}{4} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

פשט.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

החסר את ‎-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 מ- ‎-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

הוסף את ‎-\frac{3x}{4} ל- ‎\frac{3x}{4}. האיברים ‎-\frac{3x}{4} ו- ‎\frac{3x}{4} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎-\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{17}{12}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=108$$

השתמש ב- ‎108 במקום y ב- ‎-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

החסר ‎72 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=96$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=96,y=108$$