\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=96
y=108
גרף
שתף
הועתק ללוח
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
שקול את המשוואה השניה. החסר \frac{3}{4}x משני האגפים.
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
x+y=204
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
x=-y+204
החסר y משני אגפי המשוואה.
-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0
השתמש ב- -y+204 במקום x במשוואה השניה, -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.
\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0
הכפל את -\frac{3}{4} ב- -y+204.
\frac{17}{12}y-153=0
הוסף את \frac{3y}{4} ל- \frac{2y}{3}.
\frac{17}{12}y=153
הוסף 153 לשני אגפי המשוואה.
y=108
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{17}{12}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-108+204
השתמש ב- 108 במקום y ב- x=-y+204. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=96
הוסף את 204 ל- -108.
x=96,y=108
המערכת נפתרה כעת.
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
שקול את המשוואה השניה. החסר \frac{3}{4}x משני האגפים.
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=96,y=108
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
שקול את המשוואה השניה. החסר \frac{3}{4}x משני האגפים.
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
כדי להפוך את x ו- -\frac{3x}{4} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- -\frac{3}{4} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 1.
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
פשט.
-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
החסר את -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 מ- -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
הוסף את -\frac{3x}{4} ל- \frac{3x}{4}. האיברים -\frac{3x}{4} ו- \frac{3x}{4} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-\frac{17}{12}y=-153
הוסף את -\frac{3y}{4} ל- -\frac{2y}{3}.
y=108
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{17}{12}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0
השתמש ב- 108 במקום y ב- -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
-\frac{3}{4}x+72=0
הכפל את \frac{2}{3} ב- 108.
-\frac{3}{4}x=-72
החסר 72 משני אגפי המשוואה.
x=96
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=96,y=108
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}