פתור את {l}{x+y=17}{2x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} \approx 9.333333333$$

$$y = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3} \approx 7.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=17,2x-y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=17$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+17$$

השתמש ב- ‎-y+17 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=11.

$$2\left(-y+17\right)-y=11$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-y+17.

$$-2y+34-y=11$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-y.

$$-3y+34=11$$

החסר ‎34 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=\frac{23}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{3} במקום y ב- ‎x=-y+17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{23}{3}+17$$

הוסף את ‎17 ל- ‎-\frac{23}{3}.

$$x=\frac{28}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=17,2x-y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{3}\times 17-\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{3}\\\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=17,2x-y=11$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2y=2\times 17,2x-y=11$$

פשט.

$$2x+2y=34,2x-y=11$$

החסר את ‎2x-y=11 מ- ‎2x+2y=34 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+2y+y=34-11$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+y=34-11$$

הוסף את ‎2y ל- ‎y.

$$3y=34-11$$

הוסף את ‎34 ל- ‎-11.

$$3y=23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{23}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{3} במקום y ב- ‎2x-y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-\frac{23}{3}=11$$

הוסף ‎\frac{23}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{56}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{28}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$