פתור את {l}{x+y=16}{x^2+y^2=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 16 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 64 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$x=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i\text{, }y=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i$$

$$x=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i\text{, }y=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

פתור את ‎x+y=16 עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=16$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+16$$

השתמש ב- ‎-y+16 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎y^{2}+x^{2}=64.

$$y^{2}+\left(-y+16\right)^{2}=64$$

‎-y+16 בריבוע.

$$y^{2}+y^{2}-32y+256=64$$

הוסף את ‎y^{2} ל- ‎y^{2}.

$$2y^{2}-32y+256=64$$

החסר ‎64 משני אגפי המשוואה.

$$2y^{2}-32y+192=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\left(-1\right)^{2} במקום a, ב- 1\times 16\left(-1\right)\times 2 במקום b, וב- 192 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

‎1\times 16\left(-1\right)\times 2 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-8\times 192}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎192.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1536}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎-1536.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{-512}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -512.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎1\times 16\left(-1\right)\times 2 הוא ‎32.

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎32 ל- ‎16i\sqrt{2}.

$$y=\frac{32+2^{\frac{9}{2}}i}{4}$$

חלק את ‎32+i\times 2^{\frac{9}{2}} ב- ‎4.

$$y=8+2^{\frac{5}{2}}i$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16i\sqrt{2} מ- ‎32.

$$y=\frac{-2^{\frac{9}{2}}i+32}{4}$$

חלק את ‎32-i\times 2^{\frac{9}{2}} ב- ‎4.

$$y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎8+i\times 2^{\frac{5}{2}} ו- ‎8-i\times 2^{\frac{5}{2}}. השתמש ב- ‎8+i\times 2^{\frac{5}{2}} במקום ‎y במשוואה ‎x=-y+16 כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16$$

כעת השתמש ב- ‎8-i\times 2^{\frac{5}{2}} במקום ‎y במשוואה x=-y+16 ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16,y=8+2^{\frac{5}{2}}i\text{ or }x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16,y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$