פתור את {l}{x+y=15}{250x+80y=2900}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=15$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+15$$

השתמש ב- ‎-y+15 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎250x+80y=2900.

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

הכפל את ‎250 ב- ‎-y+15.

$$-250y+3750+80y=2900$$

הוסף את ‎-250y ל- ‎80y.

$$-170y+3750=2900$$

החסר ‎3750 משני אגפי המשוואה.

$$-170y=-850$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-170.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-y+15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5+15$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-5.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎250x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎250 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

פשט.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

החסר את ‎250x+80y=2900 מ- ‎250x+250y=3750 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

הוסף את ‎250x ל- ‎-250x. האיברים ‎250x ו- ‎-250x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$250y-80y=3750-2900$$

הוסף את ‎250y ל- ‎-80y.

$$170y=3750-2900$$

הוסף את ‎3750 ל- ‎-2900.

$$170y=850$$

חלק את שני האגפים ב- ‎170.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎250x+80y=2900. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$250x+80\times 5=2900$$

הכפל את ‎80 ב- ‎5.

$$250x+400=2900$$

החסר ‎400 משני אגפי המשוואה.

$$250x=2500$$

חלק את שני האגפים ב- ‎250.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=5$$