פתור את {l}{x+y=14}{2x+4y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=14,2x+4y=38$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=14$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+14$$

השתמש ב- ‎-y+14 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+4y=38.

$$2\left(-y+14\right)+4y=38$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-y+14.

$$-2y+28+4y=38$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎4y.

$$2y+28=38$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$2y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-y+14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5+14$$

הוסף את ‎14 ל- ‎-5.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=14,2x+4y=38$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-\frac{1}{2}\times 38\\-14+\frac{1}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=14,2x+4y=38$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2y=2\times 14,2x+4y=38$$

פשט.

$$2x+2y=28,2x+4y=38$$

החסר את ‎2x+4y=38 מ- ‎2x+2y=28 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+2y-4y=28-38$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-4y=28-38$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-4y.

$$-2y=28-38$$

הוסף את ‎28 ל- ‎-38.

$$-2y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎2x+4y=38. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+4\times 5=38$$

הכפל את ‎4 ב- ‎5.

$$2x+20=38$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$2x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=5$$