פתור את {l}{x+y=-1}{4x-2y=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { 4 x - 2 y = - 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=-1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y-1$$

השתמש ב- ‎-y-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-2y=-16.

$$4\left(-y-1\right)-2y=-16$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-y-1.

$$-4y-4-2y=-16$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-2y.

$$-6y-4=-16$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$-6y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎-2.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4}&-\frac{1}{-2-4}\\-\frac{4}{-2-4}&\frac{1}{-2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\\\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$4x+4y=4\left(-1\right),4x-2y=-16$$

פשט.

$$4x+4y=-4,4x-2y=-16$$

החסר את ‎4x-2y=-16 מ- ‎4x+4y=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+4y+2y=-4+16$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+2y=-4+16$$

הוסף את ‎4y ל- ‎2y.

$$6y=-4+16$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎16.

$$6y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎4x-2y=-16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-2\times 2=-16$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎2.

$$4x-4=-16$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$