פתור את {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+my=a$$

החסר ‎my משני אגפי המשוואה.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

השתמש ב- ‎a-my במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

הוסף את ‎-my ל- ‎-ny.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

החסר ‎a משני אגפי המשוואה.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-m-n.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

השתמש ב- ‎-\frac{b-a}{m+n} במקום y ב- ‎x=\left(-m\right)y+a. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

הכפל את ‎-m ב- ‎-\frac{b-a}{m+n}.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

הוסף את ‎a ל- ‎\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

החסר את ‎x+\left(-n\right)y=b מ- ‎x+my=a על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+my+ny=a-b$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$my+ny=a-b$$

הוסף את ‎my ל- ‎ny.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m+n.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

השתמש ב- ‎\frac{a-b}{m+n} במקום y ב- ‎x+\left(-n\right)y=b. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

הכפל את ‎-n ב- ‎\frac{a-b}{m+n}.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

הוסף ‎\frac{n\left(a-b\right)}{m+n} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$