פתור את {l}{x+6y=90}{3x+3y=-30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 6 y = 90 } \\ { 3 x + 3 y = - 30 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-30$$

$$y=20$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+6y=90$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$x=-6y+90$$

השתמש ב- ‎-6y+90 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+3y=-30.

$$3\left(-6y+90\right)+3y=-30$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-6y+90.

$$-18y+270+3y=-30$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎3y.

$$-15y+270=-30$$

החסר ‎270 משני אגפי המשוואה.

$$-15y=-300$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=20$$

השתמש ב- ‎20 במקום y ב- ‎x=-6y+90. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-6\times 20+90$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎20.

$$x=-120+90$$

הוסף את ‎90 ל- ‎-120.

$$x=-30$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-30,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-6\times 3}&-\frac{6}{3-6\times 3}\\-\frac{3}{3-6\times 3}&\frac{1}{3-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 90+\frac{2}{5}\left(-30\right)\\\frac{1}{5}\times 90-\frac{1}{15}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-30,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\times 6y=3\times 90,3x+3y=-30$$

פשט.

$$3x+18y=270,3x+3y=-30$$

החסר את ‎3x+3y=-30 מ- ‎3x+18y=270 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+18y-3y=270+30$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y-3y=270+30$$

הוסף את ‎18y ל- ‎-3y.

$$15y=270+30$$

הוסף את ‎270 ל- ‎30.

$$15y=300$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=20$$

השתמש ב- ‎20 במקום y ב- ‎3x+3y=-30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+3\times 20=-30$$

הכפל את ‎3 ב- ‎20.

$$3x+60=-30$$

החסר ‎60 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-90$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-30$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-30,y=20$$