פתור את {l}{x+5y=5}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+5y=5$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$x=-5y+5$$

השתמש ב- ‎-5y+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=3.

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-5y+5.

$$-15y+15-2y=3$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-2y.

$$-17y+15=3$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-17y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-17.

$$y=\frac{12}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{12}{17} במקום y ב- ‎x=-5y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{12}{17}.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-\frac{60}{17}.

$$x=\frac{25}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

פשט.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

החסר את ‎3x-2y=3 מ- ‎3x+15y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y+2y=15-3$$

הוסף את ‎15y ל- ‎2y.

$$17y=15-3$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-3.

$$17y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$y=\frac{12}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{12}{17} במקום y ב- ‎3x-2y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{12}{17}.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

הוסף ‎\frac{24}{17} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{75}{17}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{25}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$