פתור את {l}{x+3y=1}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+3y=1,2x+3y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+3y=1$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$x=-3y+1$$

השתמש ב- ‎-3y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=1.

$$2\left(-3y+1\right)+3y=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3y+1.

$$-6y+2+3y=1$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎3y.

$$-3y+2=1$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום y ב- ‎x=-3y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\times \frac{1}{3}+1$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{1}{3}.

$$x=-1+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-1.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+3y=1,2x+3y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\times 2}&-\frac{3}{3-3\times 2}\\-\frac{2}{3-3\times 2}&\frac{1}{3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+1\\\frac{2-1}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+3y=1,2x+3y=1$$

החסר את ‎2x+3y=1 מ- ‎x+3y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-2x+3y-3y=1-1$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-2x=1-1$$

הוסף את ‎x ל- ‎-2x.

$$-x=1-1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-1.

$$-x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎2x+3y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=\frac{1}{3}$$