פתור את {l}{x+2y=7}{y-x=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { y - x = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=7$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+7$$

השתמש ב- ‎-2y+7 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+y=1.

$$-\left(-2y+7\right)+y=1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-2y+7.

$$2y-7+y=1$$

הוסף את ‎2y ל- ‎y.

$$3y-7=1$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{3} במקום y ב- ‎x=-2y+7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{8}{3}+7$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{8}{3}.

$$x=-\frac{16}{3}+7$$

הוסף את ‎7 ל- ‎-\frac{16}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 7-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\times 7+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-x-2y=-7,-x+y=1$$

החסר את ‎-x+y=1 מ- ‎-x-2y=-7 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x-2y-y=-7-1$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-y=-7-1$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-y.

$$-3y=-7-1$$

הוסף את ‎-7 ל- ‎-1.

$$-3y=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{3} במקום y ב- ‎-x+y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+\frac{8}{3}=1$$

החסר ‎\frac{8}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-x=-\frac{5}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=\frac{5}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$