פתור את {l}{x+2y=7}{4x+3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=7$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+7$$

השתמש ב- ‎-2y+7 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+3y=8.

$$4\left(-2y+7\right)+3y=8$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-2y+7.

$$-8y+28+3y=8$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎3y.

$$-5y+28=8$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=-2y+7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 4+7$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎4.

$$x=-8+7$$

הוסף את ‎7 ל- ‎-8.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 8\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=8$$

פשט.

$$4x+8y=28,4x+3y=8$$

החסר את ‎4x+3y=8 מ- ‎4x+8y=28 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+8y-3y=28-8$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y-3y=28-8$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-3y.

$$5y=28-8$$

הוסף את ‎28 ל- ‎-8.

$$5y=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎4x+3y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+3\times 4=8$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4.

$$4x+12=8$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$4x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=4$$