פתור את {l}{x+2y=7}{3x-2y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=7$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+7$$

השתמש ב- ‎-2y+7 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=-3.

$$3\left(-2y+7\right)-2y=-3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2y+7.

$$-6y+21-2y=-3$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-2y.

$$-8y+21=-3$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$-8y=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-2y+7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 3+7$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3.

$$x=-6+7$$

הוסף את ‎7 ל- ‎-6.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 3}&-\frac{2}{-2-2\times 3}\\-\frac{3}{-2-2\times 3}&\frac{1}{-2-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-2y=-3$$

פשט.

$$3x+6y=21,3x-2y=-3$$

החסר את ‎3x-2y=-3 מ- ‎3x+6y=21 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+6y+2y=21+3$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y+2y=21+3$$

הוסף את ‎6y ל- ‎2y.

$$8y=21+3$$

הוסף את ‎21 ל- ‎3.

$$8y=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎3x-2y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times 3=-3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3.

$$3x-6=-3$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=3$$