פתור את {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=1$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+1$$

השתמש ב- ‎-2y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-y.

$$-3y+1=-5$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-2y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 2+1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎2.

$$x=-4+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-4.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

החסר את ‎x-y=-5 מ- ‎x+2y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+2y+y=1+5$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+y=1+5$$

הוסף את ‎2y ל- ‎y.

$$3y=1+5$$

הוסף את ‎1 ל- ‎5.

$$3y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x-y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2=-5$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$