פתור את {l}{x+2y=1}{-x+3y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - x + 3 y = - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=1$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+1$$

השתמש ב- ‎-2y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+3y=-4.

$$-\left(-2y+1\right)+3y=-4$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-2y+1.

$$2y-1+3y=-4$$

הוסף את ‎2y ל- ‎3y.

$$5y-1=-4$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$5y=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום y ב- ‎x=-2y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-\frac{3}{5}\right)+1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{3}{5}.

$$x=\frac{6}{5}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{6}{5}.

$$x=\frac{11}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-2\left(-1\right)}&\frac{1}{3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-x-2y=-1,-x+3y=-4$$

החסר את ‎-x+3y=-4 מ- ‎-x-2y=-1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x-2y-3y=-1+4$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-3y=-1+4$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-3y.

$$-5y=-1+4$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎4.

$$-5y=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום y ב- ‎-x+3y=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+3\left(-\frac{3}{5}\right)=-4$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3}{5}.

$$-x-\frac{9}{5}=-4$$

הוסף ‎\frac{9}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$-x=-\frac{11}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=\frac{11}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$