פתור את {l}{x+2y=-2}{4y=1-3x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 2 } \\ { 4 y = 1 - 3 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$4y+3x=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=-2$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y-2$$

השתמש ב- ‎-2y-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=1.

$$3\left(-2y-2\right)+4y=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2y-2.

$$-6y-6+4y=1$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎4y.

$$-2y-6=1$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$-2y=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{2} במקום y ב- ‎x=-2y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-\frac{7}{2}\right)-2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{7}{2}.

$$x=7-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎7.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$4y+3x=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+1\\\frac{3}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$4y+3x=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-2\right),3x+4y=1$$

פשט.

$$3x+6y=-6,3x+4y=1$$

החסר את ‎3x+4y=1 מ- ‎3x+6y=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+6y-4y=-6-1$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-4y=-6-1$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-4y.

$$2y=-6-1$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎-1.

$$2y=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{2} במקום y ב- ‎3x+4y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{7}{2}.

$$3x-14=1$$

הוסף ‎14 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$