פתור את {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$ty+2-x=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$ty-x=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

פתור את ‎ty-x=-2 עבור ‎y על-ידי בידוד ‎y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$ty-x=-2$$

החסר ‎-x משני אגפי המשוואה.

$$ty=x-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎t.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

‎\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} בריבוע.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

הוסף את ‎x^{2} ל- ‎4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} במקום a, ב- 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) במקום b, וב- \frac{16}{t^{2}}-4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

‎4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) בריבוע.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

הכפל את ‎-4-\frac{16}{t^{2}} ב- ‎\frac{16}{t^{2}}-4.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

הוסף את ‎\frac{256}{t^{4}} ל- ‎-\frac{256}{t^{4}}+16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎\frac{16}{t^{2}} ל- ‎4.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

חלק את ‎4+\frac{16}{t^{2}} ב- ‎2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎\frac{16}{t^{2}}.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

חלק את ‎\frac{16}{t^{2}}-4 ב- ‎2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎x‏: ‎2 ו- ‎-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. השתמש ב- ‎2 במקום ‎x במשוואה ‎y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎y שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

הכפל את ‎\frac{1}{t} ב- ‎2.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

כעת השתמש ב- ‎-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} במקום ‎x במשוואה y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎y שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

הכפל את ‎\frac{1}{t} ב- ‎-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$